Relações Métricas No Triângulo Retângulo - Exercícios Com Respostas

O triângulo retângulo é um dos shapes geométricos mais importantes na matemática, com suas propriedades únicas abrindo portas para diversas aplicações em áreas como engenharia, arquitetura e física. Dentro deste triângulo especial, as relações entre os seus lados e ângulos são fundamentais para o cálculo de suas dimensões e para a resolução de diversos problemas.

As relações métricas no triângulo retângulo se baseiam principalmente no Teorema de Pitágoras, que estabelece uma relação fundamental entre os lados do triângulo. Seja um triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c, o Teorema de Pitágoras afirma que: a² + b² = c². Essa equação poderosa permite calcular o comprimento de qualquer lado do triângulo, dado os comprimentos dos outros dois lados.

Além do Teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas importantes no triângulo retângulo, como as razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente) que relacionam os lados do triângulo com seus ângulos. A seno de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao comprimento de oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa. O coseno é igual ao comprimento do adjacente dividido pelo comprimento da hipotenusa. Finalmente, a tangente é igual ao comprimento do oposto dividido pelo comprimento do adjacente.

Dominar essas relações métricas permite a resolução de uma variedade de problemas práticos e exercícios. Vamos analisar alguns exemplos para fixar o aprendizado:

**Exercício 1:**

Em um triângulo retângulo, um cateto mede 3 cm e a hipotenusa mede 5 cm. Determine o comprimento do outro cateto.

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**Resposta:**

Utilizando o Teorema de Pitágoras: a² + b² = c², temos 3² + b² = 5². Simplificando, obtemos 9 + b² = 25. Subtraindo 9 de ambos os lados, a² = 16. Portanto, b = √16 = 4 cm.

**Exercício 2:**

Em um triângulo retângulo, um dos ângulos agudo mede 30 graus e a hipotenusa mede 10 cm. Determine o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo.

**Resposta:**

Usando o coseno: cos(30°) = adjacente / hipotenusa. Substituindo os valores conhecidos, temos cos(30°) = adjacente / 10 cm. O valor de cos(30°) é √3/2. Portanto, adjacente = (√3/2) * 10 cm = 5√3 cm.

Esses são apenas dois exemplos de como as relações métricas no triângulo retângulo podem ser aplicadas para resolver problemas. Compreender essas relações é essencial para o estudo da geometria e para diversas aplicações em áreas como engenharia e física.